PDE (편미분 방정식)

지반공학을 위한 수치해석, 정말 쉽게 한번 접근해 보자.

보면 볼수록 어려워지는 Partial Differential Equation 요점 정리 해본다.

Elliptical PDE: Steady seepage / Elasticity

Ellipse

Ex) Laplace equation

Related to Harmonic function
To be updated.

Ex) Poisson's equation

related to Green's function: Gn(r)


Ex) Helmhotz equation

Special case of Poisson's equation.

related to Bessel function in Separation of Variables (변수분리법)

Parabolic PDE: Consolidation / Heat / Diffusion

Parabola

Ex) Heat equation

To be updated.

Hyperbolic PDE: Wave propagation

Hyperbola

Ex) Wave equation

To be updated.

Plane Stress & Plane Strain

지반공학을 위한 수치해석, 정말 쉽게 한번 접근해 보자.

기본 가정이 되는 응력 & 변위 상태 조건들에 대해 요점정리 해본다.

Plane Stress

세워 놓은 얇은 막. 가장자리에만 하중 적용. z 방향 구속 없음 (Sz = 0).

A flat plate in the x-y plane, loaded only in its own plane and without z-direction restraint.

(In isotropic condition)

Plane Strain

깊은 터널의 단면. z 방향 구속 있음 (Confining Sz exist. --> Ez = 0).

A deformation state where there are no displacements in the z-direction.

The displacements in the x- and y-directions are independent from z-direction.

[s] = [C] [e]

The stress-strain relation is slightly different from the plane stress case.

중요 포인트 요약

둘 다 복잡한 3-D 문제의 간단한 2-D 모델링 적용을 위한 가정 조건들.

하지만 지반공학 Geotech 에서는 대부분 Plane Strain 적용하여야.

Statics, Kinematics and Dynamics

지반공학을 위한 수치해석, 정말 쉽게 한번 접근해 보자.

우선 자주 헷갈리는 역학의 개념부터 요점정리 해본다.

Statics (정역학)

Study of forces in equilibrium without consideration of changes over time.

예를 들자면, 응력과 변위: s = E e

Kinematic (운동학)

Study of motions (position, velocity, acceleration)

예를 들자면, 자동차의 운동: V = a t, D = 1/2 a t^2

Dynamics (동역학)

Full consideration of time varying phenomena in the interaction between motions, forces and material properties. Typically there is an time-integration process where results from one time frame effect the results on the next time frame.

예를 들자면, F = m a:  m x'' + c x' + k x = F

지반공학의 범주는?

Geomechanics: 수학적 기본 소양. ㅡㅡ;;;

Properties of Soil: 복잡. 다난.

Pile foundation: 흙의 저항력을 탄성계수로 표현하는 전형적인 동역학.

Slope stability: 흙의 자중과 파괴면의 전단력으로 FoS 를 구하는 정역학.

Finite Difference Method (유한차분법)

지반공학을 위한 수치해석, 정말 쉽게 한번 접근해 보자.

우선 가장 수월?하다는 유한차분법부터 요점정리 해본다.

대전제: Taylor Series

FDM의 시발점은 역시 Taylor series 다.

Equation of Bending : FDM

• H = EIy'      :  [-1 +1] / dx
• M = EIy''     :  [ 1 -2 1] / dx^2
• V = EIy'''     :  [-1 +3 -3 1] / dx^3
• w = EIy''''    :  [ 1 -4 6 -4 1] / dx^4

Process

1. Initialization
1. Input values: Geometry, Material, Load
2. Discretization
3. Memory allocation
2. Governing Differential Equation (GDE)
1. Stiffness matrix [K]
2. Load vector [F]
3. Boundary Conditions
1. Left
2. Right
4. Solution
1. Matrix inversion: [y] = Inv[K] * [F]
2. Calculate Moment, Shear and Pressure from [y]

추후 다시 업데이트 하겠지만, 우선 간단한 예제를 아래 남긴다.

Example - Beam

유한차분법에 의한 균일 분포하중 빔 거동 해석

Example - Pile with lateral displacement

유한차분법에 의한 수평변위 해상 강관말뚝 거동 해석

Example - Pile with axial displacement

유한차분법에 의한 수직변위 해상 강관말뚝 거동 해석