Finite Element Method (유한요소법)

지반공학을 위한 수치해석, 정말 쉽게 한번 접근해 보자.

진짜 중요하지만 너무 어려운 유한요소법을 요점정리 해본다.

대전제: 모두 다 이해하려 하지 마라.

FEM의 시발점은 간단하게 말하려 해도... shape function 을 기반으로 한 basis function 의 적용과

Guassian interpolation 에 의한 global system 과 local system 사이의 mapping 이다.

이게 무슨 소린가 싶겠지만, 아쉽게도 이 부분은 자세히 파헤치지 않는것이 신상에 좋다.

ㅡㅡㅋ

Equation of Elasticity: FEM

[e] = [B] [u(i)]

[s] = [C] [e] = [C] [B] [u(i)]

[Ke] = Integral ( [B]' [C] [B] dV )

[Kg] [u] = [F]

Process

1. Initialization
1. Input values: Geometry, Material, Load
2. Gaussian interpolation points
3. Memory allocation
2. Mesh creation
1. Global node coordinates
2. Connectivity matrix: connect from each element to 4 nodes
3. Stiffness Matrix: Consider each element
1. [J]: Jacobian matrix
2. [B]: derivatives of the shape functions matrix
3. [C]: Constitutive matrix
4. [Ke] = [B]'[C][B] * wi wj * detJ * t
5. [Kg]: Assemble local [Ke] to global [Kg]
4. Boundary Conditions and Load vector
1. Left
2. Right
3. Bottom
4. [F]: Load vector
5. Solution
1. Matrix inversion: [u] = Inv[Kg] * [F]
2. Post-process for Stress: [s] = [C][B][u] at interpolation points
3. Interpolate [s] at global nodes

추가

Implicit 와 Explicit 의 차이 설명 글


http://bbalog.tistory.com/12

추후 다시 업데이트 하겠지만, 우선 간단한 예제를 아래 남긴다.

Example - Circular Footing on Soil media (axisymmetry)

PDE (편미분 방정식)

지반공학을 위한 수치해석, 정말 쉽게 한번 접근해 보자.

보면 볼수록 어려워지는 Partial Differential Equation 요점 정리 해본다.

Elliptical PDE: Steady seepage / Elasticity

Ellipse

Ex) Laplace equation

Related to Harmonic function
To be updated.

Ex) Poisson's equation

related to Green's function: Gn(r)


Ex) Helmhotz equation

Special case of Poisson's equation.

related to Bessel function in Separation of Variables (변수분리법)

Parabolic PDE: Consolidation / Heat / Diffusion

Parabola

Ex) Heat equation

To be updated.

Hyperbolic PDE: Wave propagation

Hyperbola

Ex) Wave equation

To be updated.

Plane Stress & Plane Strain

지반공학을 위한 수치해석, 정말 쉽게 한번 접근해 보자.

기본 가정이 되는 응력 & 변위 상태 조건들에 대해 요점정리 해본다.

Plane Stress

세워 놓은 얇은 막. 가장자리에만 하중 적용. z 방향 구속 없음 (Sz = 0).

A flat plate in the x-y plane, loaded only in its own plane and without z-direction restraint.

(In isotropic condition)

Plane Strain

깊은 터널의 단면. z 방향 구속 있음 (Confining Sz exist. --> Ez = 0).

A deformation state where there are no displacements in the z-direction.

The displacements in the x- and y-directions are independent from z-direction.

[s] = [C] [e]

The stress-strain relation is slightly different from the plane stress case.

중요 포인트 요약

둘 다 복잡한 3-D 문제의 간단한 2-D 모델링 적용을 위한 가정 조건들.

하지만 지반공학 Geotech 에서는 대부분 Plane Strain 적용하여야.

Statics, Kinematics and Dynamics

지반공학을 위한 수치해석, 정말 쉽게 한번 접근해 보자.

우선 자주 헷갈리는 역학의 개념부터 요점정리 해본다.

Statics (정역학)

Study of forces in equilibrium without consideration of changes over time.

예를 들자면, 응력과 변위: s = E e

Kinematic (운동학)

Study of motions (position, velocity, acceleration)

예를 들자면, 자동차의 운동: V = a t, D = 1/2 a t^2

Dynamics (동역학)

Full consideration of time varying phenomena in the interaction between motions, forces and material properties. Typically there is an time-integration process where results from one time frame effect the results on the next time frame.

예를 들자면, F = m a:  m x'' + c x' + k x = F

지반공학의 범주는?

Geomechanics: 수학적 기본 소양. ㅡㅡ;;;

Properties of Soil: 복잡. 다난.

Pile foundation: 흙의 저항력을 탄성계수로 표현하는 전형적인 동역학.

Slope stability: 흙의 자중과 파괴면의 전단력으로 FoS 를 구하는 정역학.